1. 論理学の導入と基本概念 MOC
- 論理学とは何か
- 論理学の主要分野概観 (命題論理、述語論理、様相論理、証明論、モデル理論など)
- 論理学の歴史的概観
2. Sentential Logic) MOC
- 命題論理の基本要素
- 論理結合子 (Logical Connectives) と真理関数 (Truth Functions) MOC
- [[否定 (Negation -
¬,~)]] とその真理値表 - [[論理積 (Conjunction -
∧,&)]] とその真理値表 - [[論理和 (Disjunction -
∨,|)]] (包含的) とその真理値表 - [[含意 (Material Implication / Conditional -
→,⇒)]] - [[同値 (Material Equivalence / Biconditional -
↔,⇔)]] とその真理値表 - [[排他的論理和 (Exclusive OR -
⊕,XOR)]] - [[NAND (Sheffer Stroke -
↑) と NOR (Peirce’s Arrow -↓)]] (完全性)
- [[否定 (Negation -
- 整形式論理式 (Well-formed Formula - WFF) MOC
- 真理値表 (Truth Tables) と論理式の評価 MOC
- Valuation)
- 恒真式)
- 恒偽式)
- 充足可能論理式 (Satisfiable Formula) と非充足可能論理式 (Unsatisfiable Formula)
- [[論理的帰結 (Logical Consequence / Semantic Consequence -
⊨)]] - [[論理的同値 (Logical Equivalence -
≡or⇔in meta-language)]]- 主要な論理同値法則のリストと証明 (ド・モルガン、分配法則、結合法則など - 再掲・詳述)
- 標準形 (Normal Forms)
- 選言標準形 (DNF - Disjunctive Normal Form) と主選言標準形 (PDNF)
- 連言標準形 (CNF - Conjunctive Normal Form) と主連言標準形 (PCNF)
- 標準形への変換アルゴリズム
- Proof Systems) MOC (命題論理)
- 公理的体系 (Axiomatic System)
- 公理 (Axioms) と推論規則 (Rules of Inference)
- [[証明 (Proof / Derivation -
⊢)]] - 定理 (Theorem)
- (例) ヒルベルト流の公理系
- 自然演繹 (Natural Deduction)
- シークエント計算 (Sequent Calculus)
- [[シークエント (
Γ ⊢ Δ)]] - 構造規則 (弱化、縮約、転置)
- 論理規則
- [[シークエント (
- タブロー法 (Semantic Tableau / Truth Trees)
- 公理的体系 (Axiomatic System)
- 命題論理の健全性 (Soundness) と完全性 (Completeness) MOC
- [[健全性の定義 (
Γ ⊢ φ ⇒ Γ ⊨ φ)]] - [[完全性の定義 (
Γ ⊨ φ ⇒ Γ ⊢ φ)]] - 健全性と完全性の証明の概要
- [[健全性の定義 (
- 充足可能性問題 (SAT - Satisfiability Problem) MOC
- (オプション) コンパクト性定理 (Compactness Theorem) - 命題論理
3. First-Order Logic - FOL) MOC
- 述語論理の必要性 (命題論理の限界)
- 述語論理の基本要素
- Object)
- Name)
- 個体変項 (Individual Variable)
- 述語記号 (Predicate Symbol) (性質や関係を表す)
- n項述語 (n-ary Predicate) (例: P(x), R(x,y))
- 関数記号 (Function Symbol) (個体から個体への関数 - オプション、項の構成要素)
- 項 (Term) (個体定項、個体変項、関数記号と項からなるもの)
- 原子論理式 (Atomic Formula) (述語記号に項を適用したもの)
- 量化子 (Quantifiers) MOC
- [[全称量化子 (Universal Quantifier -
∀)]] (∀x P(x)- 「すべてのxについてP(x)」) - [[存在量化子 (Existential Quantifier -
∃)]] (∃x P(x)- 「P(x)となるxが存在する」) - 束縛変数 (Bound Variable) と自由変数 (Free Variable)
- 量化子のスコープ (Scope of a Quantifier)
- Sentence) と開論理式 (Open Formula)
- [[全称量化子 (Universal Quantifier -
- 整形式論理式 (WFF) - 述語論理 MOC
- 述語論理の意味論 (Semantics of Predicate Logic) MOC
- Structure)
- Valuation) (自由変数へのDの要素の割り当て)
- 論理式の真偽の定義 (タルスキの真理定義)
- モデル (Model) (論理式を真にする解釈)
- [[論理的妥当性 (Logical Validity / Tautology -
⊨ φ)]] (すべての解釈で真) - 充足可能性 (Satisfiability) (真にする解釈が存在する)
- [[論理的帰結 (Logical Consequence -
Γ ⊨ φ)]] - [[論理的同値 (Logical Equivalence -
φ ≡ ψ)]]- 量化子に関する主要な同値法則 (ド・モルガン、量化子の順序変更の注意点など - 再掲・詳述)
- 束縛変数の名前変更 (α-conversion)
- 推論体系 (Deductive Systems) - 述語論理 MOC
- 公理的体系
- 自然演繹
- 全称導入 (∀I), 全称除去 (∀E)
- 存在導入 (∃I), 存在除去 (∃E) (存在除去の際の注意点)
- シークエント計算
- タブロー法
- 量化子を含む論理式の展開規則 (∀規則、∃規則 - スコーレム化のアイデア)
- 述語論理の健全性 (Soundness) と完全性 (Completeness) MOC (ゲーデルの完全性定理)
- (オプション) コンパクト性定理 (Compactness Theorem) - 述語論理
- (オプション) レーヴェンハイム-スコーレムの定理 (Löwenheim-Skolem Theorem)
- 等号を含む述語論理 (First-Order Logic with Equality)
- [[等号記号
=の公理]] (反射律、対称律、推移律、置換公理)
- [[等号記号
- 多ソート述語論理 (Many-Sorted Predicate Logic) (概要)
- 高階述語論理 (Higher-Order Predicate Logic) (述語や関数を量化 - 概要と複雑性)
4. 証明論 (Proof Theory) MOC
- 証明論の目的 (形式的証明の構造と性質の研究)
- 形式的証明システムの種類 (再掲 - 公理系、自然演繹、シークエント計算)
- 証明の構文論的側面
- [[導出可能性 (
⊢)]] - 無矛盾性 (Consistency)
- ある体系が無矛盾であるとは (矛盾を証明できない)
- [[
¬(φ ∧ ¬φ)が定理であること]]
- 決定可能性 (Decidability)
- ゲンツェンのカット除去定理 (Cut-Elimination Theorem) (シークエント計算)
- (オプション) 自然演繹における正規形 (Normal Form)
- (オプション) 直観主義論理における証明論 (BHK解釈)
5. モデル理論 (Model Theory) MOC
- モデル理論の目的 (形式言語の解釈と真理の研究)
- Model) の概念の再訪
- 真理の定義 (タルスキ)
- 充足可能性、論理的妥当性、論理的帰結のモデル理論的定義 (再訪)
- 基本的なモデル理論的性質
- (オプション) カテゴリシティ (Categoricity) (ある理論が同型なモデルしか持たないか)
- (オプション) 型 (Types) と飽和モデル (Saturated Models)
- (オプション) 非標準モデル (Non-standard Models) (例: ペアノ算術の非標準モデル)
- モデル理論と代数学の関係
6. ゲーデルの不完全性定理 MOC
- 形式算術体系 (ペアノ算術 - PAなど)
- 第一不完全性定理
- 第二不完全性定理
- 不完全性定理の哲学的・数学的意義
- (オプション) 決定不可能性 (Undecidability) と計算可能性理論との関連 (チューリングマシン、停止性問題)
7. 非古典論理 (Non-Classical Logics) MOC (導入)
- なぜ非古典論理か (古典論理の仮定と限界)
- 様相論理 (Modal Logic) MOC
- [[様相演算子 (Necessity
□, Possibility◇)]] - 可能世界意味論 (Possible Worlds Semantics - クリプキモデル)
- 様相論理の公理系 (K, T, S4, S5など)
- 様々な様相論理
- 認識論理 (Epistemic Logic) (知識
K, 信念B) - 義務論理 (Deontic Logic) (義務
O, 許可P, 禁止F) - 時相論理 (Temporal Logic) (後述)
- 認識論理 (Epistemic Logic) (知識
- [[様相演算子 (Necessity
- 時相論理 (Temporal Logic) MOC
- [[時間的様相演算子 (常に
G, いつかF, 次にX, までU)]] - 線形時相論理 (LTL - Linear Temporal Logic)
- 計算木論理 (CTL - Computation Tree Logic)
- 形式検証における応用
- [[時間的様相演算子 (常に
- 直観主義論理 (Intuitionistic Logic) MOC
- 構成的証明の重視
- [[排中律 (
P ∨ ¬P) の不承認]] - [[二重否定の除去 (
¬¬P → Pは成立するがP → ¬¬Pのみ)]] - ブラウワー、ハイティングによる形式化
- クリプキ意味論 (直観主義版)
- BHK解釈 (Brouwer-Heyting-Kolmogorov interpretation)
- 多値論理 (Many-Valued Logic) MOC
- (オプション) 線形論理 (Linear Logic) (リソースの概念)
- (オプション) 関連性論理 (Relevance Logic) (含意の実質性への疑問)
- (オプション) 矛盾許容論理 (Paraconsistent Logic) (矛盾から全てが導出される爆発律を否定)
8. 論理と計算・コンピュータサイエンス MOC
- 論理プログラミング (Logic Programming) (再掲、Prologと論理の直接的関係)
- 型理論 (Type Theory) と論理
- カリー＝ハワード同型対応 (Curry-Howard Correspondence) (命題と型、証明とプログラムの対応)
- 依存型 (Dependent Types)
- 自動定理証明 (Automated Theorem Proving - ATP)
- 形式検証 (Formal Verification)
- モデル検査 (Model Checking) (時相論理の応用)
- プログラムの正当性証明 (ホーア論理など)
- データベース理論と論理 (Datalog, 関係代数/計算と述語論理)
- 人工知能 (AI) における論理
- 計算可能性理論 (Computability Theory) (チューリングマシン、決定可能性、チャーチ＝チューリングのテーゼ)
- 計算複雑性理論 (Computational Complexity Theory) (P vs NP問題と論理)
- 論理回路設計とブール代数 (再掲)
9. 非形式論理学とクリティカルシンキング MOC
- 議論 (Argument) の構造
- 演繹的推論 (Deductive Reasoning) と帰納的推論 (Inductive Reasoning)
- 誤謬 (Fallacy) MOC
- 形式的誤謬 (Formal Fallacies) (論理構造の誤り)
- 非形式的誤謬 (Informal Fallacies) (内容や文脈の誤り)
- クリティカルシンキングのスキル